Kulla-Conty 近似
能量补偿学习笔记

标准的微面元 BRDF 模型（如 Cook-Torrance GGX）基于单次散射（Single Scattering）假设。这意味着光线击中微面元后，只反弹一次就必须进入摄像机。

但在物理现实中，随着材质粗糙度（Roughness）增加，微面元的起伏变得剧烈。光线击中微面元后，很容易弹射到相邻的微面元上，发生多重散射（Multiple Scattering）。

由于标准 GGX 没有计算这些在微面元之间多次反弹后最终逃逸出来的光线，这部分能量在数学上就被当作"被吸收"而直接丢弃了，违背了能量守恒定律。

验证能量守恒的黄金标准是白炉测试。

然而，单次散射 BRDF 会在粗糙度较高时无法通过测试（反射积分小于 1，出现暗斑）。Kulla-Conty 的核心思想就是：算出单次散射丢失的这部分能量，并构造一个新的多次散射 BRDF 波瓣 ，把这部分能量精准地补回去。

推导过程分为两步：先推导理想纯反射体（无菲涅尔吸收），再引入菲涅尔项。

3.1 理想反射体的多重散射波瓣（）

首先，我们定义单次散射的方向反照率（Directional Albedo） ，即从观察方向 看去，单次散射能反射出的总能量比例：

由于理想反射体应该反射所有能量，那么丢失的能量就是 。我们需要构造一个多重散射波瓣 ，使其积分恰好等于丢失的能量：

为了满足微面元理论的亥姆霍兹互易性（即 ），Kulla 和 Conty 将 假设为分离变量的形式（ 为归一化常数）：

将上式代入积分来求解 ，并提取出常数项 ：

将积分拆开，考虑到半球余弦积分 ，且定义 在半球上的余弦加权平均为 （即 ），我们可以得到解：

因此，理想反射体的多重散射项为：

---

3.2 引入菲涅尔吸收（）

实际材质有菲涅尔效应，光线每次碰撞都会被材质吸收一部分。假设单次碰撞的平均菲涅尔反射率为 。

光线在微面元"峡谷"中每次弹射，都会有 比例的能量逃逸，剩下的 比例的光线继续在内部弹射，并在下一次碰撞时被 再次衰减。这是一个无限等比数列（Geometric Series）求和的过程。把所有由于多重弹射逃逸出来的能量累加起来，得到多重散射的颜色乘子 ：

在工业界实战中（如 Unity URP/HDRP 或 UE5 的管线），不可能实时去计算上述复杂的半球积分。主流做法是依靠预计算（Precomputation）和低阶多项式拟合。

• S1 复用 IBL 的 DFG LUT 读取 与
  DFG LUT 的 R 通道（Scale）和 G 通道（Bias）本质上就是单次散射积分的近似参数：。
  因为当前计算的是理想无吸收状态的能量（强制 ），所以代码中可以直接读取：。
• S2 多项式拟合
  是 在整个半球上的积分，仅依赖粗糙度。它在坐标系中是一条平滑的 1D 曲线，直接用廉价多项式拟合即可。
• S3 Schlick 近似
  利用 Schlick 近似法对半球积分求解，得到极度优化的解析解：。
• S4 组装多重散射项并叠加到最终 BRDF

// ── Step 1: E(v) / E(l) from DFG LUT ────────────────────────
// uv.x = NdotV, uv.y = Roughness
float2 dfg  = DFG_LUT.SampleLevel(sampler_DFG_LUT, uv, 0).rg;
float  E_v  = dfg.r + dfg.g;   // F0=1 假设

float2 dfgL = DFG_LUT.SampleLevel(sampler_DFG_LUT, uvL, 0).rg;
float  E_l  = dfgL.r + dfgL.g;

// ── Step 2: E_avg 多项式拟合 ────────────────────────────────
float GetEavg(float r) {
    // 具体系数由离线曲线拟合得出，各引擎略有不同
    return 1.0 - (r * 0.05 + r * r * 0.45);
}
float E_avg = GetEavg(roughness);

// ── Step 3: F_avg（Schlick 解析近似）───────────────────────
float3 F_avg = F0 + (1.0 - F0) / 21.0;

// ── Step 4: 组装最终多重散射项 ──────────────────────────────
float3 f_ms_color  = (F_avg * E_avg) / (1.0 - F_avg * (1.0 - E_avg));
float  f_ms_factor = (1.0 - E_v) * (1.0 - E_l) / (PI * (1.0 - E_avg));

float3 multiple_scattering = f_ms_color * f_ms_factor;

// ── Final BRDF ──────────────────────────────────────────────
float3 final_brdf = single_scattering_brdf + multiple_scattering;

符号	含义	取值 / 说明
	单次散射方向反照率	从 DFG LUT 读取（R + G），取值 [0, 1]
	的余弦加权半球均值	仅依赖粗糙度，用多项式拟合
	菲涅尔反射率的半球平均
	标准单次散射 BRDF	Cook-Torrance GGX
	多重散射补偿波瓣	Kulla-Conty 构造，满足互易性
	多重散射颜色乘子	无限等比数列求和，包含菲涅尔衰减