Mathematics for Computer Graphics

计算机图形学
数学交互笔记

线性代数 · 球面积分 · 辐射度量 · 蒙特卡洛 · 函数逼近
Linear Algebra Spherical Integral Rendering Equation Monte Carlo Spherical Harmonics Spherical Gaussians
01 图形学数学体系全局概览

现代计算机图形学（尤其是实时渲染与离线路径追踪）建立在坚实的数学基础之上。我们将整个体系提炼为以下四大支柱，每一个都对应着不同的渲染流水线阶段：

📐 线性与几何代数

向量与矩阵：点积(光照余弦项)、叉积(法线/面积元)。
变换：齐次坐标、正交/透视投影、Rodrigues 旋转公式。
四元数：万向节死锁解决、Slerp 插值。

📈 微积分与分析

坐标系：球面坐标参数化、立体角面积元。
微积分：Jacobian 换元积分、弧长公式。
向量分析：梯度/散度、Gauss/Stokes 定理（可见性与光照积分）。

🎲 概率与统计

分布：均匀、余弦加权、GGX 法线分布。
蒙特卡洛：重要性采样 (IS)、多重重要性采样 (MIS)。
方差：估计器收敛速度 。

✨ 函数逼近与数值计算

展开：泰勒展开 (Shader 优化)、球谐函数 (SH, 低频环境光)。
球面高斯 (SG)：高频光照与 SSS 拟合。
求交：Möller–Trumbore (射线-三角)、分离轴定理 (SAT)。

阅读路径建议

本笔记按从 底层数学 → 几何工具 → 物理建模 → 函数逼近 的顺序组织。如果你已经熟悉前置内容，可以直接跳转到自己感兴趣的章节。整体阅读约需 30–40 分钟。

02 线性代数与几何变换

图形管线本质上是一连串线性 / 仿射变换的级联：模型空间 → 世界空间 → 视图空间 → 裁剪空间 → 屏幕空间。每一步都靠矩阵乘法驱动；而点积、叉积则是局部 shading 的灵魂。

向量运算速查表

运算公式几何意义典型应用
点积 投影长度 / 夹角余弦 Lambert 项、可见性测试
叉积 ⊥ 平面 有向面积 / 旋转轴 三角形法线、TBN 切空间
混合积 平行六面体有向体积 四面体定位、行列式判正反
投影向量 在 上的投影 切线-法线分解、SH 系数提取
反射向量 关于法线的镜面对称翻转 镜面反射、Phong/Blinn-Phong

仿射变换与齐次坐标

在 3D 空间中，旋转、缩放是线性变换（保留原点），用 3×3 矩阵表示；但平移不是线性变换。为了用矩阵乘法统一处理所有仿射变换，我们引入齐次坐标 ，使用 4×4 矩阵：

三大基础仿射变换矩阵

透视投影矩阵将 信息隐藏到第四分量 中，再通过 x/w, y/w, z/w（齐次除法）实现 深度映射。

Rodrigues 旋转公式

给定旋转轴 （单位向量）和旋转角度 ，可以构造任意 3D 旋转矩阵。这就是著名的 Rodrigues 旋转公式：

其中 是 对应的反对称矩阵（cross-product matrix），满足 。三项分别对应：保留分量、轴向投影、旋转分量。

四元数（Quaternion）

为了避免欧拉角的万向节锁定 (Gimbal Lock)、并实现平滑的旋转插值，工业界普遍使用单位四元数表示 3D 旋转：

单位四元数 q 表示绕 u 旋转 θ

▸ 交互：反射向量 几何直观

入射向量 （黄）撞击法线 （紫，可旋转）后产生反射向量 （青）。注意当法线旋转时， 改变符号会让反射方向跳变到另一侧。

−0.643
入射角 50°
实战取舍

欧拉角用于用户输入（直观，但有 gimbal lock）；4×4 矩阵用于顶点变换 GPU 一次性吃下（高效，但 16 个浮点）；四元数用于动画存储与插值（紧凑 4 个浮点、平滑、组合稳定）。一个工业引擎里三种表示同时存在，按需互转。

03 微积分：球面坐标系与立体角积分

在 BRDF 归一化、IBL 预计算以及渲染方程中，我们几乎无时无刻不在球面上做积分。理解 立体角微元（Solid Angle Differential） 的来源是图形学数学的必修课。

单位向量参数化

其中极角 从 z 轴量起，方位角 从 x 轴绕 z 轴量起。

微元面积 的推导

为什么立体角微元是 ？这里提供几何直观与代数严谨两种推导视角：

在球面上，考虑一个极小的"矩形补丁"（patch）：

  • 1 方向弧长：固定 ，沿子午线移动 ，对半径 的圆，弧长为 。
  • 2 方向弧长：固定 ，绕 z 轴旋转。此时旋转的真实半径（投影到 xy 平面的半径）是 ，因此弧长为 。这就是 出现的根源。
  • 3 面积元：相乘得到 。在单位球 () 上，即为立体角微元 。

将参数化映射 看作一个曲面参数化，曲面元由偏导叉积的范数给出：

分别对 和 偏导：

两向量正交（、、），叉积模长直接为 。等价地用度量矩阵 行列式开根 ，结果完全一致。当 即得 。

▸ 交互：极角 与微元面积的关系可视化

在北极点（）附近， 趋于 0，微小角度 张开的面积极小；而在赤道（）附近， 最大，微元面积最大。这就是高纬度地图投影变形（Mercator）的根本原因。

旋转半径
0.707

图形学高频积分结论速查

公式几何/物理意义应用场景
单位球的总立体角 环境光积分常数 / 点光源能量
半球总立体角 均匀半球采样 PDF 归一化
半球余弦积分 Lambertian BRDF 归一化 ()
高次余弦积分 Phong / Blinn-Phong 波瓣能量归一化
小结：为什么 GGX 分母里有 4？

注意全球面 和半球 的关系。Cook–Torrance 高光项分母里的 4(n·l)(n·v) 中的因子 4，正是从微表面分布的"半向量积分到入射向量"换元的 Jacobian（雅克比）中冒出来的——这与立体角的 同源。

04 几何计算与求交检测

光栅化、光线追踪、碰撞检测都建立在几何原语之上：点-线-面的距离、射线与几何体的交点、包围体之间的相交判断。这一节是工程师的高频工具箱。

反射与折射：从向量代数到光学

几何光学的两条基本定律完全可以用向量公式给出，无需任何三角函数：

反射 (Law of Reflection)
折射 (Snell's Law, 向量形式)

是相对折射率。当根号内为负时表示全反射 (Total Internal Reflection, TIR)，没有折射光线。

▸ 交互：Snell 折射律 与 全反射临界角

入射光（黄）从介质 1（上）射向介质 2（下）。当 （如水到空气，）且入射角超过临界角 时，发生全反射，没有透射光。这是水下看天空看不到、海市蜃楼、光纤通信的物理基础。

折射角 = 22.0°　 临界角 = 48.8°　 状态 = 折射

距离与投影公式

问题公式备注
点到平面距离 是平面法向， 是平面上一点
点到直线距离 是直线方向
在 上的投影 切线-法线分解的基础

射线与三角形求交：Möller–Trumbore

给定射线 与三角形 ，求交点等价于求解 ，使得射线落在三角形的重心坐标上：

合法解需满足 、、 以及 。Möller–Trumbore 算法用 Cramer 法则把求解化为两个叉积，极快，是现代光线追踪 BVH 叶节点的标配。

重心坐标（Barycentric Coords）

对于三角形内任意点 ，其重心坐标 满足 ，且 。这是属性插值（uv、法线、颜色）的核心：

透视校正插值 (Perspective-Correct Interpolation)

把三维三角形投影到屏幕之后，屏幕空间的重心坐标不能直接用来插值属性（uv、法线、颜色、深度）。原因：透视投影是 的非线性变换，世界空间均匀的步长被压成屏幕空间后非均匀，朴素的屏幕空间线性插值会产生仿射变形。

错误做法 — 屏幕空间仿射插值

是屏幕空间的重心坐标。这种插值会让纹理在受透视压缩的三角形上拉伸不均，且双三角形拆分的四边形会沿着对角线出现明显的纹理折痕 (Texture Kink)。

正确做法 — 除 校正

推导思路：在世界空间中属性 沿三角形线性变化；投影后屏幕空间的 是世界到屏幕映射的逆比例。所以 与 在屏幕空间都保持仿射，可以用屏幕重心坐标线性插值，最后相除即得真正的 。

GPU 管线实现

顶点着色器输出 。光栅化阶段对每个像素：

  1. 用屏幕空间重心坐标线性插值 和
  2. 每像素做一次除法

这就是片段着色器收到的 varying 已经是透视校正后的值。HLSL/GLSL 中可以用 noperspective 限定符强制关闭它（例如全屏 quad 的屏幕坐标插值无需校正）。

▸ 交互：仿射 vs 透视校正

同一个梯形（代表透视投影后的方格平面），左侧用屏幕仿射插值 UV，右侧用 校正。注意左侧棋盘格沿对角线（虚线）出现明显折痕、上下两半的纹理走向不一致；右侧则在对角线两侧连续光滑——这就是 GPU 默认行为。透视强度（顶部 ）越大，差异越显著。

深度测试中的应用

同样的逻辑适用于深度： 与 在屏幕空间是线性的（这就是为什么硬件 Z-Buffer 实际存储的是 而非 ）。利用这个性质 GPU 在光栅化时无需除法即可用屏幕空间增量更新深度，是早期 Z-Test 优化的关键。Reverse-Z（远 = 0，近 = 1）配合浮点深度的精度提升正是建立在 在视锥近端的非线性聚集上。

射线与球体求交

射线-球体求交是解析光线追踪最简单也最常用的情形：把射线方程代入球面隐式方程，得到关于 的一元二次方程。

代数推导
射线球面

令 ，代入并展开：

已归一化时 。判别式 决定相交情形： 不相交； 相切； 双交点 。

几何形式（数值更稳定）
沿射线到最近点的参数射线到球心最近距离平方球内的半弦长

即 ，提前剔除。Early-Out 序列：① 若 （原点在外）且 → 射线背向，miss；② 计算 ，若超过 → miss；③ 否则求根。仅 1 个 dot product 就能完成大部分剔除，是包围球剔除速度优势的来源。

数值稳定性陷阱

当射线起点远离球面（行星尺度）且半径很大时，朴素地计算 会发生灾难性相消 (Catastrophic Cancellation)—— 两个量级接近的大数相减损失有效位。PBRT 的稳健写法：先求向量 的长度平方作为 ，再用 求 ，避免了大数相减。这点在地球-大气双壳模型的大气散射、以及体积云薄壳（云层等高度面 球壳）中尤其重要。

▸ 交互：射线与球体求交

黄色为射线 （虚线为延伸方向），紫色为球体。从球心 到射线的虚线段是最近距离 ；当 时射线穿过球体，得到两个交点 （青色）。注意当原点 进入球体时， 变为负（被丢弃）， 为实际出射点。

= —　 = —　 状态 = —
在图形管线中的应用

射线-球求交是若干系统的核心原语：包围球剔除（BVH 叶节点常用，比 AABB 更紧凑但旋转不变）、大气散射（行星-大气双层球壳，参考 Bruneton & Neyret 2008、Hillaire 2020）、体积云（云层等高度面建模为薄球壳，参考 GPU Pro 7 / Horizon: Zero Dawn 实现）、SDF Sphere Tracing（每步以最大无碰球为安全步长）、以及软粒子 / Impostor 球面替代。其廉价的 Early-Out（仅 1 个 dot product 就能 miss 大部分场景）让它常作为复杂剔除的第一道滤网。

射线与 AABB 求交 (Slab 方法)

AABB（Axis-Aligned Bounding Box, 轴对齐包围盒）是 BVH 节点的标准选择。射线-AABB 求交的 Slab 方法把每个轴看作一对平行的"板"（slab），射线穿过各 slab 都得到一个 区间，所有区间的交集就是射线落在 AABB 内部的参数范围。

每轴 区间

轴同理。预计算 后，每轴只需 2 次乘法 + 1 次 min/max。 对一条射线只算一次，跨 BVH 节点复用。

区间求交

命中条件： 且 。第一个交点的 为 （起点在盒内时为 0）。整个流程无条件分支（min/max 在 SIMD/SIMT 上是单指令），可向量化。

退化与 NaN 处理

当 （射线与 X 轴正交）时直接除得到 ，这其实是正确行为：表示射线永远不穿过 X slab 边界，区间退化为整条实数轴。利用 IEEE 754 的 与 NaN 规则配合 min/max，分支自由的实现（Williams et al. 2005, "An Efficient and Robust Ray–Box Intersection Algorithm"）能在大多数情形下自动正确处理。但 且原点恰在 slab 边界（产生 NaN）时需要特判，常用 trick 是把零方向 clamp 到极小非零数，或显式预筛 NaN。

▸ 交互：Slab 方法可视化

紫色矩形为 AABB；金色虚线垂直带为 X slab，青色虚线水平带为 Y slab。黄色射线与 X slab 边界相交得到金色点（ 区间），与 Y slab 边界相交得到青色点（ 区间）。两区间的交集（白点 → 实线段）就是射线穿过 AABB 的部分。当交集为空时整体不命中。

X slab =—　 Y slab =—　 交集=—　 状态=—
在加速结构中的应用

射线-AABB 是 BVH 遍历的最内核：每个内部节点测试一次 ray-box，未命中即整棵子树跳过。现代实现（Intel Embree、NVIDIA OptiX、Microsoft DXR、AMD HW RT 单元）用 SIMD 一次测 4–8 个 BVH 节点（QBVH/MBVH/Wide BVH）。Slab 方法的无分支特性加上逆方向预计算（每条射线只算 1 次 ）让它非常适合 SIMD/SIMT。Tavian Barnes 2011 优化版进一步用有符号方向位掩码直接在 中选定 near/far 端，省去运行时 swap。

包围体与分离轴定理 (SAT)

对于凸多面体之间的相交检测，分离轴定理是基础工具：

轴，使得

候选轴只需检查：(1) 各面法线，(2) 各对边的叉积。AABB 之间只需 3 个轴（坐标轴）；OBB 之间需要 15 个候选轴。GJK 算法是 SAT 的更通用增量版本。

05 辐射度量学与渲染方程

渲染就是能量在场景中的传输模拟。要写对渲染方程，必须先把"能量"这个概念分清楚：通量、辐照度、辐射率到底差在哪里？

四个基本辐射量

量符号 / 定义单位直观解释
辐射通量 (Flux) ，能量随时间的速率 W (瓦特) 整个光源每秒辐射多少能量
辐射强度 (Intensity) W/sr 单位立体角上的功率（描述点光源）
辐照度 (Irradiance) W/m² 单位面积上接收到的功率
辐射率 (Radiance) W/(m²·sr) "图形学最重要的量"，沿光线传输保持不变
为什么 Radiance 才是渲染的核心？

因为真空中沿光线传播时，辐射率 不随距离衰减（这就是著名的"radiance invariance"）。摄像机/眼睛只关心从某方向射入的 ，所以渲染方程的左右两边都用 。 衰减实际上发生在"立体角" 的几何上，而不是 上。

渲染方程（Kajiya 1986）

整个真实感渲染领域的"统一场论"：表面某点 沿方向 的出射辐射率 ，等于自发光 加上对所有入射方向的反射积分：

The Rendering Equation

注意三个因子：BRDF （材质）、入射辐射率 （光源 + 间接光）、余弦项 （来自 Lambert 余弦定律）。

BRDF 的三大约束

应用：Lambertian 漫反射的归一化

分母中的 直接来自 §03 中的恒等式 。把 代入能量守恒约束，整个等式正好饱和（取 1）， 即为反射率（albedo）。

06 概率统计与蒙特卡洛积分

由于 BRDF 的复杂性、IBL 环境贴图、可见性 V 项等因素，渲染方程几乎不可能写出解析解。蒙特卡洛 (MC) 积分是几乎所有现代离线渲染器的核心数学武器。

MC 估计量 (Monte Carlo Estimator)

关键洞察：积分 = 期望。任意 PDF 都能给出无偏估计，前提是 处 。方差（噪点）才是要优化的目标。

收敛速度与方差

MC 积分的标准差按 衰减。这意味着：

MC 的诅咒 / 福音

诅咒：误差减半需要 4× 采样数。10× 的画质提升需要 100× 的算力。这就是为什么 1080p 路径追踪一帧需要数千 spp。
福音：收敛速度独立于积分维度，传统数值积分（梯形/Simpson）在高维下完全崩溃。这让全局光照、参与介质、运动模糊这些高维问题都可以用同一套框架处理。

常用半球采样分布

分布PDF 反演采样 (ξ₁,ξ₂ ~ U[0,1])用途
球面均匀 环境光、点光源
半球均匀 baseline，方差较高
余弦加权半球 Lambert 漫反射的最优 IS
GGX 法线分布 正比于 金属/介电高光的 IS

▸ 交互：均匀 vs 余弦加权半球采样

从顶视图（俯视半球）看采样点的分布。均匀采样（左）每个立体角等概率，但被余弦项 加权后赤道附近的样本"贡献被压低"，是浪费。余弦加权采样（右）把样本集中在天顶附近，与 Lambert BRDF 的余弦项形状匹配，方差大幅降低。

重要性采样 (Importance Sampling)

核心思想：让 ，使估计量 接近常数，方差就能趋近于 0。在渲染里就是：让采样方向集中在 BRDF + 入射光都大的地方。

多重重要性采样 (MIS)

当被积函数包含多个尖锐部分（如 BRDF 高光 + 小型光源），单一 PDF 难以同时覆盖。MIS 用一个加权平均把多个 PDF 组合起来：

MIS 估计量（带启发权重 wᵢ）

实践中常用 balance heuristic 或 power heuristic：（ 通常最佳）。MIS 是 Veach 1997 博士论文的核心成果，奠定了现代路径追踪的工程基础。

07 函数逼近：球谐函数 (SH)

渲染中很多函数定义在球面上：环境光照、可见性遮罩、辐射传输算子……我们希望用少量系数就能存储和重建它们。球谐函数 (Spherical Harmonics) 就是球面上的"傅里叶基"。

SH 基函数

球谐基记作 ，按"频率" 分组（band），每一阶 包含 个分量（）。它们在球面上构成正交归一基：

任意球面函数 可以投影展开：

SH 投影与重建

在实时渲染里我们截断到前 3 阶（9 个系数）即可良好近似 Lambert 漫反射；更高频的内容则需要更高阶或者换用 SG。

SH 在图形学中的两大杀手级应用

SH vs SG：低频 vs 高频，互补不冲突

特征球谐 SH球面高斯 SG
表达频率 低频（截断阶数受限） 高频（锐利波瓣 大）
支撑域 全球面（每个 ） 局部锥体（围绕 ）
积分 正交：内积闭式 同样有闭式解析积分
典型用途 Diffuse light probes Specular lobes / SSS profile
组合方式 线性叠加 多 lobe 拟合（4–8 个）
混合策略 — 工业界常见做法

低频段（）用 SH 做 baseline 漫反射，再叠加几个 SG lobe 来表示主光方向 + 高光波瓣。Naughty Dog（《最后生还者》）和 Activision（《使命召唤》）的 GDC 报告都使用了这种混合表示。

08 球面高斯 (Spherical Gaussians)

球面高斯 (SG) 是把 1D 高斯函数推广到球面上的产物。SH 擅长低频，SG 则在表示高频且空间局部化 的内容上独占优势——比如金属高光、SSS profile、Glossy BRDF、各向异性 specular 等。

从 1D Gaussian 到 SG
推广到球面上
：求值方向（单位向量）
：波瓣轴向 (Lobe Axis)
：锐度 / 带宽（Sharpness，正数，越大越锐利）
：振幅（Amplitude）

注意指数中是 而不是 — 前者完全用点积表达，避免了反三角函数，对 GPU 极其友好。当 （同方向）时取最大值 ；远离时指数衰减。

SG 的代数性质（为什么它这么有用）

性质 1：两个 SG 的乘积仍是 SG

这意味着把多个 SG 进行点乘组合（如 BRDF lobe × 入射光分布）后，结果还在 SG 家族里，可以继续解析处理。

性质 2：球面上的全积分有闭式解
性质 3：两个 SG 的内积也有闭式解

把入射光和 BRDF 都拟合成 SG 后，渲染方程的某一项可以脱离 MC 直接闭式求出，这是 SG 烘焙类管线（Naughty Dog, MJP The Order: 1886）的核心技术。

▸ 交互：球面高斯 (SG) 波瓣形态剖面

在二维截面上观测 SG 的形态。固定求值向量 为角度 ，轴向 取决于偏移角。注意 如何控制"粗糙度"（波瓣宽度）： 大 ↔ 锐利尖瓣 ↔ 镜面金属； 小 ↔ 宽阔平坦 ↔ 粗糙漫反射。

SG 的实战用途

参考阅读

Matt Pettineo — SG Series Part 1–6（必读）
Approximating Subsurface Scattering With Spherical Gaussians
Xu et al. Anisotropic Spherical Gaussians, SIGGRAPH Asia 2013
Iwasaki et al. Real-time Rendering of Dynamic Scenes under All-Frequency Lighting using Integral Spherical Gaussian, EG 2012

结语 · 数学到工程的桥

这八个章节从向量代数一路串到 SG 高频烘焙，背后只有一条主线：把"光在场景里如何分布"形式化为可计算的数学对象。线性代数提供舞台、微积分提供积分尺度、概率提供采样工具、函数逼近提供压缩存储。任何一个图形学算法都可以拆回这四个基础。

下一步可以延伸阅读：《Physically Based Rendering: From Theory to Implementation》(PBRT)、《Real-Time Rendering 4th》、Eric Veach 的博士论文（MIS 与双向路径追踪奠基作）、Brian Karis Real Shading in UE4（2013 SIGGRAPH PBR 业界标杆）。

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